средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.

1) Средним для данной группы чисел x₁, x₂,..... x_n называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: Арифметическое среднее

,

Геометрическое среднее

,

Гармоническое среднее

,

Квадратичное среднее

.

Если все числа x_i (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого α ≠ 0 определить степенное С.

частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s ₍а равняется a, h и q соответственно при α = 1, -1 и 2. При α → 0 степенное С, s_α стремится к геометрическому С., так что можно считать s₀ = g. Важную роль играет неравенство s_α ≤ s_β, если α ≤ β, в частности

h ≤ g ≤ a ≤ q.

Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы

,

где f^-1(η) - функция, обратная к f (ξ) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции f (ξ). Так, арифметическое С. получается, если f(ξ) = ξ, геометрическое С. - если f (ξ) = log ξ, гармоническое С. - если f (ξ) = 1/ξ, квадратичное С. - если f (ξ) = ξ².

Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.

в частности при α = 1,

,

которые переходят в обыкновенные степенные С. при р₁ = р₂ =... = p_n. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).

2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С. a₁ и геометрическое С. g₁. Затем для пары a₁, g₁ снова находятся арифметическое С. a₂ и геометрическое С. g₂ и т.д. Общий предел последовательностей a_n и g_b, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций.

3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд "теорем о среднем", устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) - f (a) = (b-a) f'(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке [а, b], а φ(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что

.

В частности, если φ(x) = 1, то

.

Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину

.

Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

средневековье, принятое в исторической науке обозначение периода всемирной истории, следующего за историей древнего мира (См. Древний мир) и предшествующего новой истории (См. Новая история). Понятие С. в. (лат. medium aevum, буквально - средний век) появилось в 15-16 вв. у итальянских историков-гуманистов (Ф. Бьондо и др.), утвердилось в науке с 18 в. Марксистская историческая наука рассматривает С. в. как эпоху зарождения, развития и разложения Феодализма, рубежом между древностью и С. в. считает крушение рабовладельческой Римской империи (условная дата - 476), между С. в. и новой историей - Английскую буржуазную революцию 17 в. Термин "С. в.", возникший применительно к истории стран Западной Европы, употребляется и по отношению к др. регионам мира (хотя эпоха средневековья и время существования в них феодализма не всегда совпадают). Наука, изучающая историю С. в., - медиевистика.

научные сборники по истории средних веков. Издаются Институтом всеобщей истории АН СССР. Выходят с 1942 в Москве. Публикуются исследовательские статьи, рецензии и аннотации, библиографические обзоры, переводы средневековых источников. Имеются разделы "Медиевистика в высшей школе", "Хроника". До 1976 вышло 39 выпусков. Тираж (1975) 1750 экз.

магматические горные породы, содержащие 56-65\% кремнезёма. К ним относятся главным образом полевошпатовые породы с небольшой примесью железо-магнезиальных минералов (пироксена, роговой обманки, реже биотита); среди полевых шпатов характерны средние Плагиоклазы (олигоклаз, андезин). По веществ, составу среди С. г. п. различают натриевый (диориты, андезиты, порфириты) и калиевый (сиениты, трахиты) ряды. С. г. п. распространены главным образом среди эффузивных пород, в которых андезиты и порфириты преобладают над трахитами и порфирами; интрузивные породы (диорит, сиенит) распространены значительно меньше. См. также Магматические горные породы.

в статистике, обобщённые типические характеристики качественно однородных и количественно отличающихся друг от друга величин. К. Маркс писал: "В каждой отрасли промышленности индивидуальный рабочий, Петр или Павел, более или менее отклоняется от среднего рабочего. Такие индивидуальные отклонения, называемые на языке математиков "погрешностями", взаимно погашаются и уничтожаются, раз мы берем значительное число рабочих" (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 23, с. 334). Важная роль, которую играют С. в., видна, например, из того, что средний труд входит в определение стоимости; в анализе нормы прибыли большое значение имеет средний органический состав капитала; при определении амортизации исходят из среднего срока службы данного вида оборудования и т.д. Существуют различные типы С. в. (см. Средние). При малой колеблемости индивидуальных величин выбор формы средней не имеет существенного значения, при большой колеблемости он диктуется природой объекта. Например, при вычислении средней производительности труда необходимо учитывать её прямую пропорциональность количеству произведённой продукции и обратную пропорциональность затрате рабочего времени на её выработку. Поэтому при нахождении средней из данных о дневной выработке рабочих вычисляют среднюю арифметическую, а при определении средней по данным о затрачиваемом ими на единицу продукции времени - среднюю гармоническую. При вычислении среднегодового темпа роста продукции, населения и т.д. исходят из того, что отношение окончательно достигнутого уровня к начальному (в данном ряде) равно произведению величин вида 1 + t_i, где t_i - темп роста для отдельного (i-го) года. Поэтому из этих величин определяют среднюю геометрическую и из неё вычитают 1 для получения среднего темпа.

С. в. следует различать от огульных средних, неправомерно используемых для характеристики совокупности разнородных единиц. Впервые это различие показал В. И. Ленин в работе "Развитие капитализма в России" (1896-99). В противоположность построениям, опиравшимся на антинаучное использование средних, он доказал, что разнородная масса крестьянских хозяйств не может характеризоваться одной средней, поскольку она в этом случае вместо обобщённой типической характеристики всех хозяйств превращается в огульную среднюю (см. Статистические группировки).

Со С. в. тесно связан закон больших чисел (см. Больших чисел закон). При наличии случайного элемента в индивидуальных значениях он оказывается в С. в. погашенным тем в большей мере, чем больше количество охватываемых средней индивидуальных величин.

Лит. см. при ст. Статистика.